\subsection{正弦函数、余弦函数的象和性质}\label{subsec:2-8}

我们利用单位圆中的正弦线、余弦线来作正弦函数、余弦函数的图象。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-19}
    \caption{}\label{fig:2-19}
\end{figure}

在直角坐标系的 $x$ 轴上任取一点 $O_1$，以 $O_1$ 为圆心作单位圆（见图 \ref{fig:2-19} 的上半部分），
从这个圆与 $x$ 轴的交点 $A$ 起把圆分成 $12$ 等份（等份越多，作出的图象越精确）。过圆上的各分点作
$x$ 轴的垂线，可以得到对应于角 $0$，$\dfrac \pi 6$，$\dfrac \pi 3$，$\dfrac \pi 2$，……，$2\pi$ \vspace{0.5em}
的正弦线及余弦线（例如 $O_1B$对应于角 $\dfrac \pi 2$ 的正弦线）。相应地，再把 $x$ 轴上从 $0$ 到
$2\pi$ 这一段（$2\pi \approx 6.28$）分成 $12$ 等份（例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于角
$\dfrac \pi 2$ 的点）。把角 $x$ 的正弦线向右平行移动，使得正弦线（是规定了方向的线段）的起点与
$x$ 轴上的点 $x$ 重合（例如，把单位圆中的正弦线 $O_1B$ 向右平行移动，使得 $O_1$ 与 $x$ 轴上的
点 $\dfrac \pi 2$ 重合），再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了正弦函数
$y = \sin x, \, x \in [0, 2\pi)$ 的图象。

为了作出余弦函数 $y = \cos x, \, x \in [0, 2\pi)$ 的图象，我们把坐标系向下平移（见图 \ref{fig:2-19}
的下半部分），过点 $O_1$ 作与 $x$ 轴的正半轴成角 $\dfrac \pi 4$ 的直线，又过余弦线 $O_1A$的
终点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，它与前面所作的直线交于 $A'$。那么，规定了方向的线段 $O_1A$ 与 $AA'$
的长度相等且方向同时为正。这样，我们就把余弦线 $O_1A$ “竖立”起来成为 $AA'$。用同样的方法，将
其他的余弦线也都“竖立”起来。再将它们平移，使起点与 $x$ 轴上的点 $x$ 重合，最后用光滑曲线把这些
竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数 $y = \cos x, \, x \in [0, 2\pi)$ 的图象。

因为终边相同的三角函数值相等，所以正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\cdots$，$x \in [-2\pi, 0)$，
$x \in [2\pi, 4\pi)$，$x \in [4\pi, 6\pi)$，$\cdots$ 时的图象，与 $x \in [0, 2\pi)$ 时
的图象的形状完全一样，只是位置不同。余弦函数的情况也相同。我们把 $y = \sin x$，
$y = \cos x$ 在 $x \in [0, 2\pi)$ 时的图象向左和向右平行移动 $2\pi$，$4\pi$，
$\cdots$，就可以得到 $y = \sin x, \, x \in R$ 及 $y = \cos x, \, x \in R$ 的图象（图 \ref{fig:2-20}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-20}
    \caption{}\label{fig:2-20}
\end{figure}

正弦函数 $y = \sin x, \, x \in R$ 和余弦函数 $y = \cos x, \, x \in R$ 的图象分别叫做\textbf{正弦曲线}和\textbf{余弦曲线}。

\vspace{1em}
\textbf{练 \quad 习}

用描点法作出正弦函数 $y = \sin x, \, x \in [0, 2\pi)$ 和余弦函数 $y = \cos x, \, x \in [0, 2\pi)$ 的图象。
\vspace{2em}

由图 \ref{fig:2-19} 可以看出，下面五个点在确定图象形状时起着关键的作用：
\vspace{0.5em}
$$(0, 0), \, \left(\dfrac \pi 2, 1\right), \, (\pi, 0), \, \left(\dfrac{3\pi}{2}, -1\right), \, (2\pi, 0) \text{。} \vspace{0.5em}$$

这五点描出后，正弦函数 $y = \sin x, \, x \in [0, 2\pi]$ 的图象的形状就基本上确定了；

\vspace{0.5em}
$(0, 1), \, \left(\dfrac \pi 2, 0\right), \, (\pi, -1), \, \left(\dfrac{3\pi}{2}, 0\right), \, (2\pi, 1)$
\vspace{0.5em}这五点描出后，余弦函数 $y = \cos x, \, x \in [0, 2\pi]$ 的图象的形状就基本上确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑曲线将它们连结起来，
就得到在相应区间内的正弦函数、余弦函数的简图。今后，我们作正、余弦函数的简图，一般
都象这样先找出在确定图象形状时起着关键作用的五个点，然后描点作图。

\liti 作下列函数的简图：
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$y = 1 + \sin x, \, x \in [0, 2\pi]$；}

    \xiaoxiaoti{$y = -\cos x, \, x \in [0, 2\pi]$。}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{5em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin x$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
    $1 + \sin x$ & $1$ & $2$ & $1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-21}）：

\begin{figure}[H]
    \centering
    \input{pic/2-21}
    \caption{}\label{fig:2-21}
\end{figure}

（2）列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{5em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\cos x$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
    $-\cos x$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-22}）：

\begin{figure}[H]
    \centering
    \input{pic/2-22}
    \caption{}\label{fig:2-22}
\end{figure}

下面来研究正弦函数 $y = \sin x$ 和余弦函数 $y = \cos x$ 的主要性质。

（1）\textbf{定义域} \mylabel{xingzhi:sincos-1}

\textbf{函数 $y = \sin x$ 及 $y = \cos x$ 的定义域都是 $(-\infty, +\infty)$。}

（2）\textbf{值域} \mylabel{xingzhi:sincos-2}

因为在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长 $1$ 的，所以 $|\sin x| \leqslant 1$，
$|\cos x| \leqslant 1$，即 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$，$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$。
\textbf{函数 $y = \sin x, \, x\in R$ 及 $y = \cos x, \, x\in R$ 的值域都是 $[-1, 1]$。}

\textbf{函数 $y = \sin x$
在 $x = \dfrac \pi 2 + 2k\pi, \, k \in Z$ 时取最大值 $y = 1$；
在 $x = -\dfrac \pi 2 + 2k\pi, \, k \in Z$ 时取最小值 $y = -1$。}

\textbf{函数 $y = \cos x$
在 $x = 2k\pi, \, k \in Z$ 时取最大值 $y = 1$；
在 $x = (2k + 1)\pi, \, k \in Z$ 时取最小值 $y = -1$。}

（3）\textbf{周期性} \mylabel{xingzhi:sincos-3}

由诱导公式 $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$，$\cos(x + 2k\pi) = \cos x \, (k \in Z)$ 知道，
正弦函数值、余弦函数值是按照一定的规律不断重复出现的，这是正弦函数和余弦函数的重要性质。

一般地，对于函数 $y = f(x)$，如果存在一个不为零的常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的每一个值时，
$$f(x + T) = f(x)$$
都成立，那么就把函数 $y = f(x)$ 叫做\textbf{周期函数}，不为零的常数 $T$ 叫做这个函数的\textbf{周期}。
例如，对于正弦函数 $\sin x, \, x \in R$ 来说，$2\pi$，$4\pi$，$\cdots$，$-2\pi$，$-4\pi$，$\cdots$
都是它的周期。一般地，$2k\pi \, (k \in Z \text{，且} k \neq 0)$ 都是它的周期。对于一个周期函数来说，
如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做\textbf{最小正周期}。例如，$2\pi$ 是
正弦函数 $\sin x, \, x \in R$ 的所有周期中的最小正数，因而 $2\pi$ 是这个函数的最小正周期。

\textbf{正弦函数 $y = \sin x, \, x \in R$ 和余弦函数 $y = \cos x, \, x \in R$ 都是周期函数，
$2k\pi \, (k \in Z \text{，且} k \neq 0)$ 都是它们的周期，最小正周期是 $2\pi$。}\footnote{这个结论可以证明，本书从略。}

今后我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数的最小正周期。

（4）\textbf{奇偶性} \mylabel{xingzhi:sincos-4}

由诱导公式 $\sin(-x) = -\sin x$，$\cos(-x) = \cos x$ 可知，\textbf{
正弦函数 $y = \sin x, \, x \in R$ 是奇函数，
余弦函数 $y = \cos x, \, x \in R$ 是偶函数。}

反映在图象上，\textbf{正弦曲线关于坐标系原点 $O$ 对称，余弦曲线关于 $y$ 轴对称。}

（5）\textbf{单调性} \mylabel{xingzhi:sincos-5}

由正弦曲线可以看出：
当 $x$ 由 $-\dfrac \pi 2$ 增大到 $\dfrac \pi 2$ 时，曲线逐渐上升，$\sin x$ 由 $-1$ 增大到 $1$；
当 $x$ 由 $\dfrac \pi 2$ 增大到 $\dfrac{3\pi} 2$ 时，曲线逐渐下降，$\sin x$ 由 $1$ 减小到 $-1$。
这个变化情况如下表所示

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{5em}|*{9}{w{c}{2em}}|}
    \hline
    $x$ & $-\dfrac \pi 2$ & & $0$ & & $\dfrac \pi 2$ & & $\pi$ & & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ \hline
    $\sin x$ & $-1$ & $\nearrow$ & $0$ & $\nearrow$ & $1$ & $\searrow$ & $0$ & $\searrow$ & $-1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

由正弦函数的周期性知道：

\textbf{正弦函数 $y = \sin x$
在每一个闭区间 $\left[ -\dfrac \pi 2 + 2k\pi,  \dfrac \pi 2 + 2k\pi \right]\, (k \in Z)$ \vspace{0.5em} 上，都从 $-1$ 增大到 $1$，是增函数；
在每一个闭区间 $\left[ \dfrac \pi 2 + 2k\pi,  \dfrac{3\pi} 2 + 2k\pi \right]\, (k \in Z)$ \vspace{0.5em} 上，都从 $1$ 减小到 $-1$，是减函数。}
也就是说，正弦函数 $y = \sin x$ 的单调区间是 $\left[ -\dfrac \pi 2 + 2k\pi,  \dfrac \pi 2 + 2k\pi \right]$
及 $\left[ \dfrac \pi 2 + 2k\pi,  \dfrac{3\pi} 2 + 2k\pi \right]\, (k \in Z)$。\vspace{0.5em}

类似地，由余弦曲线可以看出，函数 $y = \cos x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的变化情况如下表所示：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{5em}|*{9}{w{c}{2em}}|}
    \hline
    $x$ & $-\pi$ & & $-\dfrac \pi 2$ & & $0$ & & $\dfrac \pi 2$ & & $\pi$ \\ \hline
    $\cos x$ & $-1$ & $\nearrow$ & $0$ & $\nearrow$ & $1$ & $\searrow$ & $0$ & $\searrow$ & $-1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

由余弦函数的周期性知道：

\textbf{余弦函数 $y = \cos x$
在每一个闭区间 $[(2k - 1)\pi, 2k\pi], \, (k \in Z)$ 上，都从 $-1$ 增大到 $1$，是增函数；
在每一个闭区间 $[2k\pi, (2k + 1)\pi], \, (k \in Z)$ 上，都从 $1$ 减小到 $-1$，是减函数。}
也就是说，余弦函数 $y = \cos x$ 的单调区间是 $[(2k - 1)\pi, 2k\pi]$ 及 $[2k\pi, (2k + 1)\pi], \, (k \in Z)$。

\liti 求使下列函数取得最大值的 $x$ 的集合，并说出最大值是多少。
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLine[11em]{\xiaoxiaoti{$y = \cos x + 1$；}}{\xiaoxiaoti{$y = \sin 2x$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）使函数 $y = \cos x$ 取得最大值的 $x$，就是使函数 $y = \cos x + 1$ 取得最大值的 $x$，
因而使 $y = \cos x$ 取得最大值的 $x$ 的集合 $\{ x \mid x = 2k\pi, \, k \in Z \}$，就是使
$y = \cos x + 1$ 取得最大值的 $x$ 的集合。

函数 $y = \cos x + 1$  的最大值是 $1 + 1 = 2$。

（2）令 $z = 2x$，那么使函数 $y = \sin z$ 取得最大值的 $z$ 的集合是
$\{ z \mid z = \dfrac \pi 2 + 2k\pi, \, k \in Z \}$。由
$$2x = z = \dfrac \pi 2 + 2k\pi ,$$
得
$$x = \dfrac \pi 4 + k\pi ,$$
就是说，使得 $y = \sin 2x$ 取得最大值的 $x$ 的集合是
$$\{ x \mid x = \dfrac \pi 4 + k\pi, \, k \in Z \} \text{。}$$

函数 $y = \sin 2x$ 的最大值是 $1$。

\liti 求下列函数的周期：
\begin{xiaoxiaotis}

    \threeInLine[11em]{\xiaoxiaoti{$y = 3\cos x$；}}{\xiaoxiaoti{$y = \sin 2x$；}}{\xiaoxiaoti{$y = 2\sin\left( \dfrac 1 2 x - \dfrac \pi 6 \right)$。}}
    \vspace{0.5em}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）因为 $\cos x$ 的最小正周期是 $2\pi$，所以当自变量 $x \, (x \in R)$ 增加到 $x + 2\pi$
且必须增加到 $x + 2\pi$ 时，函数 $\cos x$ 的值重复出现，函数 $3\cos x$ 的值也重复出现，因此
$y = 3\cos x$ 的周期（即最小正周期，下同）是 $2\pi$。

（2）把 $2x$ 看成是一个新的变量 $z$，那么 $\sin z$ 的最小正周期是 $2\pi$。就是说，当 $z$ 增加到
$z + 2\pi$ 且必须增加到 $z + 2\pi$ 时，函数 $\sin z$ 的值重复出现。而 $z + 2\pi = 2x + 2\pi = 2(x + \pi)$，
所以当自变量 $x$ 增加到 $x + \pi$ 且必须增加到 $x + \pi$ 时，函数值重复出现，因此 $y = \sin 2x$ 的周期是 $\pi$。

（3）把 $\dfrac 1 2 x - \dfrac \pi 6$ 看成是一个新的变量 $z$，那么 $2\sin z$ 的周期是 $2\pi$，由于
$$z + 2\pi = \left( \dfrac 1 2 x - \dfrac \pi 6 \right) + 2\pi = \dfrac 1 2 (x + 4\pi) - \dfrac \pi 6 ,$$
所以当自变量 $x$ 增加到 $x + 4\pi$ 且必须增加到 $x + 4\pi$ 时，函数值重复出现，因此
$y = 2\sin\left( \dfrac 1 2 x - \dfrac \pi 6 \right)$ 的周期是 $4\pi$。

我们看到，例$3$ 中函数周期的变化仅与自变量 $x$ 的系数有关。一般地，\textbf{函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi)$
或 $y = A \cos(\omega x + \varphi)$（其中$A$，$\omega$，$\varphi$ 为常数，且 $A \neq 0$，$\omega > 0$，
$x \in R$）的周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$。}

事实上，设 $\omega x + \varphi = z$，那么函数 $A \sin z$ 或 $A \cos z$ 的周期是 $2\pi$，但是
$\omega x + \varphi + 2\pi = \omega(x + \dfrac{2\pi}{\omega}) + \varphi$，所以当自变量 $x$
增加到 $x + \dfrac{2\pi}{\omega}$ 且必须增加到 $x + \dfrac{2\pi}{\omega}$ 时，函数值重复出现，因此函数
$$ y = A \sin(\omega x + \varphi) \quad \text{或} \quad y = A \cos(\omega x + \varphi)$$
的周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$。根据这个结论，我们可以由正弦函数式或余弦函数式直接写出它的周期。
如在上面的例3中，（1）的周期是 $2\pi$，（2）的周期是$\dfrac{2\pi}{2} = \pi$，
（3）的周期是 $\dfrac{\, 2\pi \,}{\dfrac 1 2} = 4\pi$。

\liti 不通过求值，指出下列各式大于零，还是小于零。
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$\sin\left( -\dfrac{\pi}{18} \right) - \sin\left( -\dfrac{\pi}{10} \right)$；}
    \vspace{0.5em}

    \xiaoxiaoti{$\cos\left( -\dfrac{23}{5} \pi \right) - \cos\left( -\dfrac{17}{4} \pi \right)$。}
    \vspace{0.5em}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）因为 $-\dfrac \pi 2 < -\dfrac{\pi}{10} < -\dfrac{\pi}{18} < \dfrac \pi 2$，\vspace{0.5em}
且正弦函数 $y = \sin x$ 当 $-\dfrac \pi 2 \leqslant x \leqslant \dfrac \pi 2$ 时是增函数，所以
$$ \sin\left( -\dfrac{\pi}{10} \right) < \sin\left( -\dfrac{\pi}{18} \right) ,$$
即
$$\sin\left( -\dfrac{\pi}{18} \right) - \sin\left( -\dfrac{\pi}{10} \right) > 0 \text{。}$$

（2）$\begin{gathered}[t]
    \cos\left( -\dfrac{23}{5} \pi \right) = \cos \dfrac{23}{5} \pi = \cos \dfrac 3 5 \pi, \\
    \cos\left( -\dfrac{17}{4} \pi \right) = \cos \dfrac{17}{4} \pi = \cos \dfrac 1 4 \pi \text{。}
\end{gathered}$

因为 $0 < \dfrac 1 4 \pi < \dfrac 3 5 \pi < \pi$，且余弦函数 $y = \cos x$ 在
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ 上是减函数，所以
$$ \cos \dfrac 3 5 \pi < \cos \dfrac 1 4 \pi , $$
即
$$\begin{gathered}
    \cos \dfrac 3 5 \pi - \cos \dfrac 1 4 \pi < 0, \\
    \therefore \quad \cos\left( -\dfrac{23}{5} \pi \right) - \cos\left( -\dfrac{17}{4} \pi \right) < 0 .
\end{gathered}$$

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{作下列函数的简图$(x \in [0, 2\pi])$：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \threeInLine[11em]{\xiaoxiaoti{$y = -\sin x$；}}{\xiaoxiaoti{$y = 1 + \cos x$；}}{\xiaoxiaoti{$y = 2\sin x$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 $x$ 的区间：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tabular}[t]{*{3}{@{}p{11em}}}
        \xiaoxiaoti {$\sin x > 0$；} & \xiaoxiaoti {$\sin x < 0$；} \\
        \xiaoxiaoti {$\cos x > 0$；} & \xiaoxiaoti {$\cos x < 0$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{下列各等式能否成立？为什么？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLine[11em]{\xiaoxiaoti{$2\cos x = 3$；}}{\xiaoxiaoti{$\sin^2 x = 0.5$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求使下列函数取得最小值的 $x$ 的合集，并说出函数的最小值是多少。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLine[11em]{\xiaoxiaoti{$y = 2\sin x$；}}{\xiaoxiaoti{$y = 2 - \cos \dfrac x 3$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{等式 $\sin(30^\circ + 120^\circ) = \sin 30^\circ$ 是否成立？如果这个等式成立，
    能不能说 $120^\circ$ 是正弦函数 $y = \sin x$ 的周期？为什么？}

\xiaoti{求下列函数的周期：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{3}{@{}p{13em}}}
        \xiaoxiaoti {$y = \sin 3x$；} & \xiaoxiaoti {$y = \cos \dfrac x 3$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = 3\sin \dfrac x 4$；} & \xiaoxiaoti {$y = \sin \left( x + \dfrac{\pi}{10} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = \cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right)$；} & \xiaoxiaoti {$y = \sqrt{3} \sin \left( \dfrac 1 2 x - \dfrac{\pi}{4} \right)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{3}{@{}p{13em}}}
        \xiaoxiaoti {$\sin 250^\circ$，} & $\sin 260^\circ$； \\
        \xiaoxiaoti {$\cos \dfrac{15}{8} \pi$，} & $\cos \dfrac{14}{9} \pi$； \\
        \xiaoxiaoti {$\cos 515^\circ$，} & $\cos 530^\circ$； \\
        \xiaoxiaoti {$\sin \left( -\dfrac{54}{7} \pi \right)$，} & $\sin \left( -\dfrac{63}{8} \pi \right)$。
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
